部分リーマン多様体の接続と曲率

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定理 ―  X、YをM上のベクトル場とするとき、Mの任意の点Pに対し、以下が成立する^[1]：

${\displaystyle \mathrm {Pr} _{P}({\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y|_{P})=\nabla _{X}Y|_{P}}$

定義 ―  XをM上のベクトル場、ηを法ベクトルバンドル${\displaystyle NM}$の切断とするとき、以下のように定義される${\displaystyle NM}$の接続をMの法接続（英: normal connectionn）^[2]、もしくはVan der Waerden Bortolotti接続^[3]という：

${\displaystyle \nabla _{X}^{\bot }\eta :=\mathrm {Pr} ^{N}{\bar {\nabla }}_{X}^{M}\eta }$

さらにYをM上のベクトル場とするとき、

${\displaystyle R^{\bot }(X,Y)\eta :=\nabla _{X}^{\bot }\nabla _{Y}^{\bot }\eta -\nabla _{Y}^{\bot }\nabla _{X}^{\bot }\eta +\nabla _{[X,Y]}^{\bot }\eta }$

をMの法曲率（英: normal curvature^[2]）という。

という。

定義 (第二基本形式) ― 　

${\displaystyle \mathrm {I\!I} (X,Y):={\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y-\Pr({\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y)}$

をMの${\displaystyle ({\bar {M}},g)}$における第二基本形式（英: second fundamental form）^[4]、もしくは型テンソル^{[訳語疑問点]}（英: shape tensor^[5]）という。

また${\displaystyle \eta \in NP}$に対し、

${\displaystyle \mathrm {I\!I} _{\eta }(X,Y):=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )}$

と定義し、これも第二基本形式という^[6]。

定理 ― 　

• ガウスの公式^[7]（英: Gauss formula^[8]）：${\displaystyle {\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y=\nabla _{X}Y+\mathrm {I\!I} (X,Y)}$

定理 ― 　

• ${\displaystyle \mathrm {I\!I} (X,Y)=\mathrm {I\!I} (Y,X)}$
• ${\displaystyle \mathrm {I\!I} (X,Y)}$はX、Yに対して${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-線形。

定理 ― 　

• 曲線に沿ったガウスの公式（英: Gauss formula along a curve）${\displaystyle {{\bar {\nabla }} \over dt}V_{P(t)}={\nabla \over dt}V_{P(t)}+\mathrm {I\!I} \left({d \over dt}P(t),V_{P(t)}\right)}$

定義 ―  XをM上のベクトル場、ηを法ベクトルバンドル${\displaystyle NM}$の切断とするとき、

${\displaystyle S_{\eta }(X):=\nabla _{X}^{\bot }\eta -{\bar {\nabla }}_{X}^{M}\eta =-\Pr {\bar {\nabla }}_{X}^{M}\eta }$

を型写像^[9]（英: shape operator^[10]）もしくはワインガルテン写像^[9]（英: Weingarten map^[9]）という^[11]。

定理 ― 　

ワインガルテンの公式^[12]（英: Weingarten Equation）^[13]${\displaystyle g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )=g(Y,S_{\eta }(X))}$

よって特に${\displaystyle S_{\eta }(X)}$はX、ηに関して${\displaystyle C^{\infty }(M)}$-線形である^[14]。

定理 ― 　

• ガウスの方程式^[15]（英: Gauss equation^[16]）${\displaystyle g(R(X,Y)Z,W)=g({\bar {R}}(X,Y)Z,W)+g(\mathrm {I} \!\mathrm {I} (X,Z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (Y,W))-g(\mathrm {I} \!\mathrm {I} (X,W),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (Y,Z))}$
• コダッチの方程式（英: Codazzi's equation^[17]）${\displaystyle g({\bar {R}}(X,Y)Z,\eta )=({\bar {\nabla }}_{Y}I\!\!I)(X,Z,\eta )-({\bar {\nabla }}_{X}I\!\!I)(Y,Z,\eta )}$
• リッチの方程式（英: Ricci equation^[2]） ${\displaystyle g(R^{\bot }(X,Y)\eta ,\zeta )=g({\bar {R}}(X,Y)\eta ,\zeta )-g([S_{\eta },S_{\zeta }]X,Y)}$

系 ― 　T_PMの正規直交している2本のベクトルv、wに関し、以下が成立する^[18]：

${\displaystyle \mathrm {Sec} _{P}(v,w)={\overline {\mathrm {Sec} }}_{P}(v,w)+g(\mathrm {I\!I} (v,v),\mathrm {I\!I} (w,w))-g(\mathrm {I\!I} (v,w),\mathrm {I\!I} (v,w))}$

定義 (第三基本形式) ― 

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} (X,Y)=\sum _{i=1}^{m}g(\mathrm {I\!I} (X,e_{i}),\mathrm {I\!I} (Y,e_{i}))}$

を第三基本形式という^[20]。 ここでmはMの次元であり、${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$はT_PMの正規直交基底である。

定理 ―  ${\displaystyle {\bar {M}}}$の次元をnとし、${\displaystyle \eta _{1},\ldots ,\eta _{n-m}}$をMの法ベクトル空間N_PMの基底とするとき、第三基本形式は以下を満たす^[20]：

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} (X,Y)}$${\displaystyle =\sum _{j=1}^{n-m}g(S_{\eta _{j}}(X),S_{\eta _{j}}(Y))}$

定理 ―  ${\displaystyle {\bar {M}}}$が曲率cの定曲率空間であれば、以下が成立する^[20]：

${\displaystyle \mathrm {Ric} (X,Y)=(m-1)c+mg\left(\mathrm {I\!I} (X,Y),H\right)-\mathrm {I\!I\!I} (X,Y)}$

ここで${\displaystyle \mathrm {Ric} (X,Y)}$はMのリッチテンソルであり、HはMの平均曲率ベクトルである。

定理 ―  ${\displaystyle {\bar {M}}}$が曲率cの定曲率空間で、${\displaystyle M\subset {\bar {M}}}$が余次元1であれば、以下が成立する^[20]。

${\displaystyle \mathrm {Ric} =(m-1)c+mHS_{\eta }-S_{\eta }{}^{2}}$

ここで${\displaystyle \mathrm {Ric} }$はリッチテンソル${\displaystyle \mathrm {Ric} (X,Y)}$に対して${\displaystyle \mathrm {Ric} (X,Y)=g(\mathrm {Ric} (X),Y)}$を満たす線形写像であり、ηはMの単位法ベクトルである。

定義 (主曲率) ― ${\displaystyle M\subset {\bar {M}}}$が余次元1で${\displaystyle \eta \in N_{P}M}$を点${\displaystyle P\in M}$における（±1倍を除いて）唯一の長さ1の法ベクトルとし、対称二次形式

${\displaystyle \mathrm {I\!I} _{\eta }(X,Y)|_{P}=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )|_{P}}$

を回転行列で対角化した際の固有値を${\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}}$とし、${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$を対応する長さ1の固有ベクトルとする。このとき、 各e_iの事を点PにおけるMの主方向（英: principal direction）といい^[21]、${\displaystyle \kappa _{i}}$を主方向e_iに関する主曲率（英: principal curvature）^[21]という。

定義 (ガウス曲率、平均曲率（英語版）) ―  記号を上の定義と同様に取る。このとき、主曲率の第i基本対称式${\displaystyle \sigma _{i}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m})}$を二項係数${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}}$で割った

${\displaystyle H_{i}:={1 \over \textstyle {\binom {n}{k}}}\sigma _{i}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m})}$

を点Pにおける第i平均曲率（英: i-th mean curvature）という^[22]。特に、

${\displaystyle K:=H_{m}=\mathrm {det} \mathrm {I\!I} _{\eta }=\kappa _{1}\cdots \kappa _{m}}$

を点PにおけるMのガウス曲率（英: Gausian curvature）^[23]もしくはガウス・クロネッカー曲率（英: Gauss Kronecker curvature）^[21]といい、

${\displaystyle H:=H_{1}={1 \over n}\mathrm {tr} \mathrm {I\!I} _{\eta }={\kappa _{1}+\cdots +\kappa _{m} \over n}}$

を点PにおけるMの平均曲率（英: mean curvature）という^[21]。

定理 ―  （固有値${\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}}$が相異なれば）主方向${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$は互いに直交する。

定理 ―  主曲率および主方向はそれぞれワインガルテン写像の固有値・固有ベクトルに一致する。

定理 ― 以下の3つの値は等しい：

• 第i平均曲率は${\displaystyle H_{i}}$
• S_ηの固有多項式

${\displaystyle \mathrm {det} (\lambda I-S_{\eta })=\sum _{i=0}^{m}(-1)^{m-i}\sigma _{i}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m})\lambda ^{m-i}}$

のm-i次の項を${\displaystyle (-1)^{m-i}\textstyle {\binom {n}{k}}}$で割った値

• ${\displaystyle {(-1)^{m-i} \over \textstyle {\binom {n}{k}}}\mathrm {tr} (\wedge ^{i}S_{\eta })}$

定義 ― ${\displaystyle {\bar {M}}}$をリーマン多様体とし、${\displaystyle M\subset {\bar {M}}}$を（余次元1とは限らない）部分リーマン多様体とし、PをMの点とする。このとき、　

${\displaystyle H_{P}:={1 \over n}\mathrm {tr} \mathrm {I\!I} |_{P}={1 \over n}\sum _{i}\mathrm {I\!I} |_{P}(e_{i},e_{i})\in N_{P}M}$

をPにおけるMの平均曲率ベクトル（英: mean curvature vector）といい^[25]、H_Pにより定まる法ベクトルバンドルの切断Hを平均曲率ベクトル場（英: mean curvature vector field）という^[26]。ここで${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$は${\displaystyle T_{P}M}$の正規直交基底である。

定理 ―  ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{m+1}}$を向き付け可能かつ余次元1のリーマン多様体とし、GをMが定めるガウス写像とする。

このとき、ガウス写像が接ベクトル空間に誘導する写像

${\displaystyle G_{*}~:~T_{P}M\to T_{G(P)}S^{m}\approx T_{P}M}$

は、

${\displaystyle G_{*}(v)=-S_{\eta }(v)}$

を満たす^[21]。ここで${\displaystyle S_{\eta }(v)}$はワインガルテン写像である。

定理 (ガウス写像によるガウス曲率の意味付け) ―  記号を上述の定理と同様に取る。 さらにM、S^mの体積要素をそれぞれ${\displaystyle dV}$、${\displaystyle dV'}$とするとき、ガウス写像が誘導する写像

${\displaystyle G^{*}~:~\bigwedge ^{m}T_{G(P)}^{*}S^{m}\to \bigwedge ^{m}T_{P}^{*}M}$

は、

${\displaystyle G^{*}(dV'_{G(P)})=K_{P}dV_{P}}$

を満たす。ここでK_Pは点PにおけるMのガウス曲率である^[27]。

系 (断面曲率と主曲率の関係) ― 　埋め込み${\displaystyle M\subset {\bar {M}}}$が余次元1の埋め込みで、${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$が点${\displaystyle P\in M}$における主方向で${\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}}$を対応する主曲率とする。このときi≠jを満たす任意のi, j ∈{1,...,m}に対し、以下が成立する^[28]：

${\displaystyle \mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})={\overline {\mathrm {Sec} }}(e_{i},e_{j})+\kappa _{i}\kappa _{j}}$

定理 (Theorema Egregiumの一般化) ― ${\displaystyle {\bar {M}}_{c}}$を曲率cの定曲率空間とし、${\displaystyle M\subset {\bar {M}}_{c}}$をその余次元1の部分多様体とし、さらにPをMの点とする。さらに線形写像${\displaystyle \rho ~:~\wedge ^{2}TM_{P}\to \wedge ^{2}TM_{P}}$を

${\displaystyle g(\rho (X\wedge Y),Z\wedge W)=g(R(X,Y)W,Z)}$

により定義する。

このとき、ρの固有値の集合は

${\displaystyle \{\kappa _{i}\kappa _{j}+c\mid i,j\in 1,\ldots ,m,{\text{ s.t. }}i\neq j\}}$

に一致する^[29]。ここでmはMの次元であり、${\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}}$は点Pにおける主曲率である。

また${\displaystyle \kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}}$に対応する主方向を${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$とすると、${\displaystyle \kappa _{i}\kappa _{j}+c}$に対応する固有ベクトルは${\displaystyle e_{i}\wedge e_{j}}$である。

定理 (Theorema Egregium) ― ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$の二次元部分多様体${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$に対し、点Pにおけるガウス曲率は点Pにおける断面曲率と一致する^[28]。

系 (偶数次平均曲率の内在性、偶数次元のガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取るとき、${\displaystyle {\bar {M}}_{c}}$におけるMの第r平均曲率はrが偶数ならMに内在的な量である^{[注 2]}。

よってとくに${\displaystyle {\bar {M}}_{c}}$におけるMのガウス曲率KはMの次元mが偶数ならMに内在的な量である^{[29][注 2]}。

系 (符号を除いたガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取る。Mの次元mが奇数であっても、${\displaystyle {\bar {M}}_{c}}$におけるMのガウス曲率Kは符号を除いて内在的な量である^{[29][注 3][注 2]}

定理・定義 (パッフィアン) ―  mを正の偶数とし、Vをm次元の向きづけられた実ベクトル空間とし、${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$をVの正規直行基底でVの向きと同じ向きのものとし、歪対称二次形式

${\displaystyle \alpha =\sum _{i>j}a^{ij}e_{i}\wedge e_{j}}$

に対し、

${\displaystyle \overbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } ^{m/2}={1 \over (m/2)!}\mathrm {Pf} (\alpha )e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{m}}$

となる実数${\displaystyle \mathrm {Pf} (\alpha )}$が一意に存在する^{[注 4]}。 しかも${\displaystyle \mathrm {Pf} (\alpha )}$はVと同じ向きの正規直交基底${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$の取り方によらない。

${\displaystyle \mathrm {Pf} (\alpha )}$をαのパッフィアン（英: Pfaffian）と呼ぶ。

定理 ―  任意の正則行列Bに対し、

${\displaystyle \mathrm {Pf} (B^{-1}AB)=\mathrm {det} (B)\mathrm {Pf} (A)}$

が成立する。よって特に任意の直交行列Bに対し、

${\displaystyle \mathrm {Pf} (B^{-1}AB)={\begin{cases}\mathrm {Pf} (A)&{\text{if }}\mathrm {det} (B)=1\\-\mathrm {Pf} (A)&{\text{if }}\mathrm {det} (B)=-1\end{cases}}}$

が成立する^[31]。

定理 (パッフィアンの具体的表記) ― m=2k次の歪対称行列${\displaystyle A=(a^{ij})_{ij}}$に対し、以下が成立する^[31]：

${\displaystyle \mathrm {Pf} (A)={1 \over 2^{k}k!}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{m}}\mathrm {sgn} (\sigma )a^{\sigma (1)\sigma (2)}\cdots a^{\sigma (m-1)\sigma (m)}}$.

ここで${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{m}}$は対称群であり、${\displaystyle \mathrm {sgn} (\sigma )}$は置換σの符号である。

定理 ― m=2k次の歪対称行列${\displaystyle A=(a^{ij})_{ij}}$に対し、以下が成立する^[31]：

${\displaystyle \mathrm {Pf} (A)^{2}=\mathrm {det} (A)}$.

定義 (オイラー形式) ―  m=2kを偶数とし、Mをm次元の向きづけられたリーマン多様体とし、${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$を開集合${\displaystyle U\subset M}$におけるTMの正規直交基底でMと同じ向きを持つものとし、${\displaystyle \Omega =(\Omega ^{i}{}_{j})_{ij}}$を${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$に関するMの曲率形式とする。このとき、

${\displaystyle \mathrm {eu} (\Omega )=\mathrm {Pf} \left({\Omega \over 2\pi }\right)={1 \over (2\pi )^{k}}\mathrm {Pf} (\Omega )}$

をオイラー形式（英: Euler form）もしくはガウス・ボンネ被積分関数^{[訳語疑問点]}（英: Gauss-Bonnet integrand）という^{[32][33][34][35]}。

定理 (オイラー形式の成分表示) ― （正規直交とは限らない）基底${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$に対し、以下が成立する^[36]

${\displaystyle \mathrm {eu} (\Omega )={1 \over (8\pi )^{k}k!}R_{i_{1}i_{2}j_{2}j_{1}}\cdot \cdots \cdot R_{i_{m-1}i_{m}j_{m}j_{m-1}}g(e^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge e^{i_{k}},e^{j_{1}}\wedge \cdots \wedge e^{j_{k}})dV}$

ここでdVはMの体積要素であり、上式はアインシュタインの縮約記法を用いている。

定理 (ガウス曲率のオイラー形式による表記) ― mを偶数とし、${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{m+1}}$をm次元リーマン多様体Mの余次元1の埋め込みとする。このとき以下が成立する^[37]：

${\displaystyle \mathrm {eu} (\Omega )=(2k-1)!!KdV}$

ここで${\displaystyle \mathrm {eu} (\Omega )}$はMのオイラー形式であり、KはMのガウス曲率であり、${\displaystyle (2k-1)!!}$は二重階乗${\displaystyle (2k-1)!!=1\cdot 3\cdot \cdots \cdot (2k-1)}$であり、 dVはMの体積要素である。