Przestrzeń unormowana

Przestrzeń unormowana – przestrzeń liniowa, w której określono pojęcie normy będące uogólnieniem pojęcia długości (modułu) wektora w przestrzeni euklidesowej.

Przestrzenie unormowane pojawiają się w różnych działach matematyki, jak np. analiza matematyczna, rachunek prawdopodobieństwa czy równania różniczkowe.

Podwaliną powstania teorii przestrzeni unormowanych stały się badania zainicjowane przez matematyków w pierwszej połowie XX w. nad przestrzeniami Banacha. Przestrzeniami Banacha są przestrzenie unormowane, takie że norma indukuje metrykę, przy czym metryka ta ma szczególną własność – jest zupełna.

Teoria przestrzeni unormowanych, szczególnie teoria przestrzeni Banacha, jest jedną z głównych gałęzi analizy funkcjonalnej.

Definicje: normy, przestrzeni unormowanej

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K}$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych^[a].
Odwzorowanie ${\displaystyle \|{\cdot }\|\colon X\to [0,\infty )}$ nazywa się normą w przestrzeni ${\displaystyle X,}$ jeśli dla wszystkich elementów ${\displaystyle x,y\in X}$ i skalarów ${\displaystyle \alpha \in K}$ spełnia następujące warunki^[1]:

1. niezdegenerowania
   ${\displaystyle \|x\|=0\Rightarrow x=0;}$
2. dodatniej jednorodności
   ${\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|;}$
3. nierówności trójkąta (podaddytywności)
   ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|.}$

Przestrzeń ${\displaystyle X}$ z określoną normą ${\displaystyle \|{\cdot }\|}$ nazywa się przestrzenią unormowaną.

Uwagi

(1) Każde odwzorowanie spełniające warunek 2. spełnia również warunek

${\displaystyle x=0\Rightarrow \|x\|=0.}$

(2) Z tego powodu wielu autorów zamiast warunku 1. przyjmuje następujący warunek

${\displaystyle \|x\|=0\Leftrightarrow x=0.}$

Przykłady norm

P-normy

W przestrzeniach współrzędnych ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ lub ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{n}}$ można wprowadzić wiele norm. Niech ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in X.}$

Funkcje postaci

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}={\big (}|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}|^{p}{\big )}^{1/p}}$

są normami dla ${\displaystyle 1\leqslant p<\infty ,}$ nazywanymi p-tymi normami.

Normę ${\displaystyle \|{\cdot }\|_{2}}$ nazywa się normą euklidesową i oznacza po prostu ${\displaystyle |{\cdot }|,}$ o ile nie prowadzi to do nieporozumień.

Norma maximum

W przestrzeni ${\displaystyle X}$ można wyróżnić także normę maksimum zadaną wzorem

${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\max {\big \{}|x_{i}|\colon \,i=1,\dots ,n{\big \}}.}$

Jej oznaczenie jest zgodne z p-tymi normami w tym sensie, iż ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}\to \|\mathbf {x} \|_{\infty }}$ przy ${\displaystyle p\to \infty .}$

Norma supremum

Jeżeli ${\displaystyle K}$ jest przestrzenią zwartą, to przestrzeń ${\displaystyle C(K)}$ wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych, określonych na ${\displaystyle K,}$ jest przestrzenią unormowaną (a nawet przestrzenią Banacha) z normą daną wzorem

${\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in K\}.}$

Norma indukowana przez iloczyn skalarny

Tw. 1

Jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią unitarną z iloczynem skalarnym ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ,}$ to dla dowolnego ${\displaystyle x\in X}$ wzór

${\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$

definiuje normę w tej przestrzeni.

Df. 2

Normą generowaną (indukowaną) przez iloczyn skalarny nazywa się normę zdefiniowaną w oparciu o iloczyn skalarny.

Tw. 2 (tożsamość równoległoboku)

Normy generowane przez iloczyn skalarny spełniają tożsamość równoległoboku, tzn.

${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.}$

Tw. 3 (tożsamość polaryzacyjna)

Jeśli norma danej przestrzeni nie spełnia tożsamości równoległoboku, to nie można w niej wprowadzić iloczynu skalarnego; jeśli jednak spełnia ona tę tożsamość, to iloczyn skalarny zadany jest za pomocą następującej tożsamości polaryzacyjnej:

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\sum _{k=0}^{3}i^{k}\|x+i^{k}y\|^{2}={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\|x+iy\|^{2}-i\|x-iy\|^{2}\right).}$

Równoważność norm

Df. 3 (równoważności norm)

Dwie normy przestrzeni liniowej nazywane są równoważnymi, gdy metryki przez nie generowane wyznaczają tę samą topologię.

Uwaga: Badanie równoważności norm sprowadza się z powyższej racji do badania równoważności metryk.

Tw. 4 (o równoważności norm)

Warunkiem koniecznym i wystarczającym równoważności norm ${\displaystyle \|{\cdot }\|_{1},\ \|{\cdot }\|_{2}}$ w przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest istnienie dwóch takich dodatnich liczb rzeczywistych ${\displaystyle c,C,}$ które dla każdego elementu ${\displaystyle x\in X}$ spełniają warunek

${\displaystyle c\|x\|_{1}\leqslant \|x\|_{2}\leqslant C\|x\|_{1}.}$

Tw. 5 (o zupełności norm)

Z powyższego wynika bezpośrednio, że:

Jeżeli dwie normy w danej przestrzeni są równoważne oraz jedna z nich jest zupełna (w sensie metryk przez nie indukowanych), to druga również jest zupełna.

Tw. 6

W skończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej istnieje dokładnie jedna topologia liniowa – oznacza to, że wszystkie normy są takiej przestrzeni parami równoważne i zupełne.

Tw. 7

W każdej nieskończeniewymiarowej (rzeczywistej bądź zespolonej) przestrzeni liniowej można wprowadzić nieskończenie wiele parami nierównoważnych norm.

Przykłady przestrzeni unormowanych

(1) Przestrzenie należące do przestrzeni Banacha, np. przestrzenie L^p, przestrzenie Sobolewa, przestrzenie Hardy’ego.

(2) Każda podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha, która nie jest domknięta, jest przestrzenią unormowaną (ale nie jest przestrzenią Banacha).

(3) Przestrzeń ${\displaystyle c_{00}}$ wszystkich ciągów liczbowych, których tylko skończenie wiele wyrazów jest niezerowych jest przestrzenią unormowaną, ale niezupełną (przestrzeń ta jest podprzestrzenią przestrzeni ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$).

(4) Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa (o wartościach w przestrzeni nieskończeniewymiarowej) – to przestrzeń unormowana, ale niezupełna.

Norma a metryka i topologia

Metryka indukowana przez normę

W przestrzeni unormowanej ${\displaystyle X}$ wzór

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

dla ${\displaystyle x,y\in X}$ definiuje metrykę na przestrzeni ${\displaystyle X.}$ Mówimy, że norma indukuje metrykę.

Topologia indukowana przez normę

Topologia indukowana przez normę przestrzeni ${\displaystyle X}$ jest liniowa w tym sensie, że przestrzeń liniowa ${\displaystyle X}$ wraz z tą topologią tworzy przestrzeń liniowo-topologiczną (tzn. działania dodawania wektorów i działania mnożenia wektora przez skalar są ciągłe w sensie topologii produktowych, odpowiednio w ${\displaystyle X\times X}$ i ${\displaystyle K\times X}$), która jest ponadto lokalnie wypukła L standardową bazą lokalną otoczeń zera tej przestrzeni, złożoną z absolutnie wypukłych zbiorów domkniętych jest rodzina

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}={\Big \{}{\overline {B}}\left(0,{\tfrac {1}{n}}\right)\colon n=1,2,\dots {\Big \}}}$

kul domkniętych o środku w zerze i promieniu ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}.}$

Z drugiej strony, tzw. kryterium Kołmogorowa podaje warunek konieczny i wystarczający na to, aby w danej przestrzeni liniowo-topologicznej można było wprowadzić normę wyznaczającą wyjściową topologię przestrzeni (o przestrzeniach tego typu mówi się, że są normowalne): przestrzeń liniowo-topologiczna jest normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest T₁ oraz zawiera wypukłe i ograniczone otoczenie zera^[2] (funkcjonał Minkowskiego wypukłego i ograniczonego otoczenia zera jest normą, która wyznacza wyjściową topologię przestrzeni).

Przestrzenie sprzężone i przestrzenie operatorów

 Osobne artykuły: norma operatora i przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna).

 Zobacz też: przestrzeń refleksywna.

Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest dowolną przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K,}$ to przestrzeń ${\displaystyle {\text{Hom}}(X,K)}$ funkcjonałów liniowych określonych na ${\displaystyle X}$ i o wartościach w ${\displaystyle K}$ oznacza się zwykle symbolem ${\displaystyle X'}$ i nazywa przestrzenią sprzężoną algebraicznie do ${\displaystyle X.}$

W kontekście przestrzeni unormowanych rozważa się jednak częściej rodzinę tych funkcjonałów liniowych na nich określonych, które są ciągłe: tworzą one przestrzeń ${\displaystyle X^{*},}$ nazywaną przestrzenią sprzężoną topologicznie; w przestrzeni tej można w naturalny sposób wprowadzić normę operatorową. Na mocy twierdzenia Banacha-Steinhausa przestrzenie sprzężone do przestrzeni unormowanych są zawsze przestrzeniami Banacha (ograniczając się do przestrzeni nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych), niezależnie od tego, czy przestrzeń ${\displaystyle X}$ jest zupełna.

Każdą przestrzeń unormowaną X można izometrycznie zanurzyć w drugą przestrzeń sprzężoną ${\displaystyle X^{**},}$ poprzez odwzorowanie

${\displaystyle \kappa \colon X\to X^{**}}$

dane wzorem

${\displaystyle \kappa (x)x^{*}=x^{*}x,\,x^{*}\in X^{*}.}$

Z twierdzenia Goldstine’a wynika, że obraz przestrzeni X poprzez odwzorowanie ${\displaystyle \kappa }$ jest gęstym podzbiorem ${\displaystyle X^{**}}$ w sensie ${\displaystyle X^{*}}$-topologii. Ważną klasę przestrzeni unormowanych stanowią przestrzenie refleksywne, tzn. te przestrzenie unormowane dla których odwzorowanie ${\displaystyle \kappa }$ jest suriekcją. Przestrzeń ${\displaystyle X^{**}}$ jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy X ma tę własność, a więc każda unormowana przestrzeń refleksywna jest automatycznie przestrzenią Banacha.

Z każdą parą ${\displaystyle (X,Y)}$ przestrzeni unormowanych można stowarzyszyć przestrzeń ${\displaystyle \operatorname {L} (X,Y)}$ wszystkich ciągłych operatorów liniowych ${\displaystyle X\to Y.}$ W przestrzeni ${\displaystyle \operatorname {L} (X,Y)}$ wprowadza się normę wzorem

${\displaystyle {\begin{aligned}\|\operatorname {A} \|&=\inf {\big \{}c>0\colon \|\operatorname {A} x\|\leqslant c\|x\|,\,x\in X{\big \}}\\&=\sup {\big \{}\|\operatorname {A} x\|\colon x\in X,\,\|x\|\leqslant 1{\big \}}\\&=\sup\{\|\operatorname {A} x\|\colon x\in X,\,\|x\|=1{\big \}}\\&=\sup \left\{{\tfrac {\|\operatorname {A} x\|}{\|x\|}}\colon \,x\in X,\,x\neq 0\right\},\quad \operatorname {A} \in \operatorname {L} (X,Y)\end{aligned}}}$

Ostatnie dwie równości mają sens tylko w przypadku, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią nietrywialną.

Pseudonorma. Przestrzeń pseudounormowana

Df. 3

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K}$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych^[a].
Odwzorowanie ${\displaystyle \|{\cdot }\|\colon X\to [0,\infty )}$ nazywa się pseudonormą w przestrzeni ${\displaystyle X,}$ jeśli dla wszystkich elementów ${\displaystyle x,y\in X}$ i skalarów ${\displaystyle \alpha \in K}$ spełnia następujące warunki:

1. dodatniej jednorodności
   ${\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|;}$
2. nierówności trójkąta (podaddytywności)
   ${\displaystyle \|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|.}$

Uwaga:

Powyższa funkcja ${\displaystyle \|{\cdot }\|}$ nie spełnia 1-go warunku, określającego normę - niezdegenerowania) - tj. nie jest prawdą, że dla każdego ${\displaystyle x:\|x\|=0\Rightarrow x=0.}$

Df. 4 Przestrzeń ${\displaystyle X}$ z określoną pseudonormą ${\displaystyle \|{\cdot }\|}$ nazywa się przestrzenią pseudounormowaną.

Zobacz też

Inne rodzaje przestrzeni:

• przestrzeń Banacha
• przestrzeń Hilberta
• przestrzeń liniowo-topologiczna
• przestrzeń metryczna
• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń unitarna

Uwagi

Przypisy

Bibliografia

• John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990, s. 67. ISBN 0-387-97245-5.
• Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976.brak strony w książce
• Nicolas Bourbaki: Topological vector spaces. Berlin: Springer, 1987, s. I.3. ISBN 3-540-42338-9.