超完全数

超完全数 (ちょうかんぜんすう、英: Superperfect number）とは完全数を発展させた数で、次の式を満たす整数 n のことである。

σ 2 ( n ) = σ ( σ ( n ) ) = 2 n {\displaystyle \sigma ^{2}(n)=\sigma (\sigma (n))=2n\,}

ただしσ は約数関数、超完全数は Suryanarayana (1969) によって定義された。

具体的には

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144,… (オンライン整数列大辞典の数列 A019279)

である。もし n が偶数の超完全数ならば 2k+1−1 がメルセンヌ素数であるような 2k でなければならない。[1][2]

奇数の超完全数はまだ知られていない。 奇数の超完全数 n が存在するなら、その数は n または σ(n) が少なくとも3つの異なる素因数からできる平方数でなければならないことは知られている。[2] 奇数の超完全数は 7 x 1024 までの数では存在しない。[1]

概要

以下の約数関数 σ を用いた数式において m = 1 のとき完全数、m = 2 のとき超完全数、そして m ≥ 3 のとき m-超完全数は存在しない。[1]

σ m ( n ) = 2 n {\displaystyle \sigma ^{m}(n)=2n}

これよりm-超完全数とは以下の数式を満たす n で(m , k)-完全数という。 [3]

σ m ( n ) = k n {\displaystyle \sigma ^{m}(n)=kn}

(m , k)-完全数の表記において, 完全数は(1 , 2)-完全数、倍積完全数は(1 , k)-完全数、超完全数は(2 , 2)-完全数となる。 m-超完全数とは(m , 2)-完全数のことである。[4]

以下に(m , k)-完全数の例を示す。

m k (m , k)-完全数 OEIS
2
2
 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144,… A019279
2
3
 8, 21, 512 A019281
2
4
 15, 1023, 29127, 355744082763 A019282
2
6
 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024,… A019283
2
7
 24, 1536, 47360, 343976 A019284
2
8
 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128,

3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072,…

A019285
2
9
 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936,… A019286
2
10
 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296,… A019287
2
11
 4404480, 57669920, 238608384 A019288
2
12
 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120,… A019289
2
13
 57120, 932064, 3932040, 251650560 A019290
2
14
 217728, 1278720, 2983680, 5621760, 14008320, 298721280, 955367424, 1874780160, 4874428416 A019291
3
 1, 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ... A019292
4
 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ... A019293

脚注

  1. ^ a b c Guy (2004) p.99
  2. ^ a b Weisstein, Eric W. "Superperfect Number". mathworld.wolfram.com (英語).
  3. ^ Cohen & te Riele (1996)
  4. ^ Guy (2007) p.79

参考文献

  • Superperfect Number - PlanetMath.（英語）
  • Cohen, G. L.; te Riele, H. J. J. (1996). “Iterating the sum-of-divisors function”. Experimental Mathematics 5: 93–100. doi:10.1080/10586458.1996.10504580. Zbl 0866.11003. 
  • Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. B9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 
  • Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300 
  • Suryanarayana, D. (1969). “Super perfect numbers”. Elem. Math. 24: 16–17. Zbl 0165.36001. 


関連項目

  • 表
  • 話
  • 編
  • 歴
被整除性に基づいた整数の集合
概要
Divisibility of 60
因数分解による分類
約数和による分類
約数が多いもの
アリコット数列関連
位取り記法に基づくもの
  • Equidigital number（英語版）
  • Extravagant number（英語版）
  • Frugal number（英語版）
  • ハーシャッド数
  • Polydivisible number（英語版）
  • スミス数
その他