逆ガンマ分布

逆ガンマ分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	${\displaystyle \alpha >0}$ 形状母数（英語版） ${\displaystyle \beta >0}$ 尺度母数（英語版）
台	${\displaystyle (0,\infty )}$
確率密度関数	${\displaystyle {\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}}$
累積分布関数	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}}$
期待値	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha -1}}}$ for ${\displaystyle \alpha >1}$
中央値	${\displaystyle {\frac {\beta }{\Gamma ^{-1}(\alpha ,\Gamma (\alpha )/2)}}}$
最頻値	${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha +1}}}$
分散	${\displaystyle {\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}}$ for ${\displaystyle \alpha >2}$
歪度	${\displaystyle {\frac {4{\sqrt {\alpha -2}}}{\alpha -3}}}$ for ${\displaystyle \alpha >3}$
尖度	${\displaystyle {\frac {6(5\alpha -11)}{(\alpha -4)(\alpha -3)}}}$ for ${\displaystyle \alpha >4}$
エントロピー	${\displaystyle \alpha +\ln(\beta \Gamma (\alpha ))-(1+\alpha )\psi (\alpha )}$, ${\displaystyle \psi }$ はディガンマ関数
モーメント母関数	なし
特性関数	${\displaystyle {\frac {2(-i\beta x)^{\alpha /2}K_{\alpha }(2{\sqrt {-ibx}})}{\Gamma (\alpha )}}}$, ${\displaystyle K}$ は第2種変形ベッセル関数
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逆ガンマ分布（ぎゃくガンマぶんぷ、英語: inverse gamma distribution）は連続確率分布の一種で、その母数は2つである。ガンマ分布に従う確率変数の逆数は逆ガンマ分布に従う。

定義と性質

逆ガンマ関数の確率密度関数は形状母数（英語版） ${\displaystyle \alpha >0}$、尺度母数（英語版） ${\displaystyle \beta >0}$で、台 ${\displaystyle (0,\infty )}$ の上で

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-\beta /x}}{x^{\alpha +1}}}}$

と定義される^[1]。ここで ${\displaystyle \Gamma }$ はガンマ関数である。尺度母数について

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{\beta }}f(x/\beta ;\alpha ,1)}$

である。逆ガンマ分布の累積分布関数は次のように表される。

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}}$

ここで分子の ${\displaystyle \Gamma }$ は不完全ガンマ関数である。

モーメント

${\displaystyle \alpha >n}$ の場合、${\displaystyle n}$ 次のモーメントは

${\displaystyle E[X^{n}]=\beta ^{n}{\frac {\Gamma (\alpha -n)}{\Gamma (\alpha )}}={\frac {\beta ^{n}}{(\alpha -n)\dotsb (\alpha -1)}}}$

である^[2]。 期待値と分散はそれぞれ

${\displaystyle {\begin{aligned}E[X]&={\frac {\beta }{\alpha -1}}&(\alpha >1),\\V[X]&={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&(\alpha >2)\end{aligned}}}$

である。

他の分布との関係

• ${\displaystyle {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,1/2)}$ は ${\displaystyle {\mathsf {InvChi2}}(2\alpha )}$（逆カイ二乗分布（英語版））
• ${\displaystyle {\mathsf {InvGamma}}(1/2,\beta )}$ は ${\displaystyle {\mathsf {Levy}}(0,2\beta )}$（レヴィ分布）
• ${\displaystyle X\sim {\mathsf {Gamma}}(\alpha ,\theta )}$（ガンマ分布、${\displaystyle \theta }$ はガンマ分布にとっての尺度母数）ならば ${\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,1/\theta )}$
• 注意：${\displaystyle X\sim {\mathsf {Gamma}}(\alpha ,\beta )}$（ガンマ分布、${\displaystyle \beta }$ はガンマ分布にとってのrate parameter（英語版））ならば ${\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {InvGamma}}(\alpha ,\beta )}$
• ${\displaystyle X\sim {\mathsf {InvGamma}}(1,\beta )}$ ならば ${\displaystyle 1/X\sim {\mathsf {Exp}}(\beta )}$（指数分布）

脚注

参考文献

• Hoff, P. (2009). "A first course in bayesian statistical methods". Springer.
• Witkovsky, V. (2001). “Computing the Distribution of a Linear Combination of Inverted Gamma Variables”. Kybernetika 37 (1): 79–90. MR1825758. Zbl 1263.62022. 

関連項目

• ガンマ分布