一般化双曲型分布

一般化双曲型分布（いっぱんかそうきょくがたぶんぷ、英: generalized hyperbolic distribution, GH）は、一般化逆ガウス分布（英語版）（GIG分布）による正規分散平均混合（英語版）として定義される連続確率分布で、1977年にBarndoroff-Nielsen（英語版）により導入された。GH分布は金融市場のモデル化によく使われている。

一次元一般化双曲型分布

確率密度関数

一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。

g h ( x ; λ , α , β , δ , μ ) = a ( λ , α , β , δ , μ ) ( δ 2 + ( x − μ ) 2 ) ( λ − 1 2 ) / 2 × K λ − 1 / 2 ( α δ 2 + ( x − μ ) 2 ) exp ⁡ ( β ( x − μ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )=&a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )(\delta ^{2}+(x-\mu )^{2})^{(\lambda -{\frac {1}{2}})/2}\\&\times K_{\lambda -1/2}(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}})\exp(\beta (x-\mu ))\end{aligned}}}

ここで、

a ( λ , α , β , δ , μ ) = ( α 2 − β 2 ) λ / 2 2 π α λ − 1 / 2 δ λ K λ ( δ α 2 − β 2 ) {\displaystyle a(\lambda ,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )={\frac {(\alpha ^{2}-\beta ^{2})^{\lambda /2}}{{\sqrt {2\pi }}\alpha ^{\lambda -1/2}\delta ^{\lambda }K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}}
Kλ(x) は、第3種の変形ベッセル関数。
μ {\displaystyle \mu } 位置 (location) パラメータ（実数）
λ {\displaystyle \lambda } （実数）
α {\displaystyle \alpha } （実数）
β {\displaystyle \beta } 歪度 (skewness) /非対称性 (asymmetry) パラメータ（実数）
δ {\displaystyle \delta } 尺度 (scale) パラメータ（実数）
x ∈ ( − ∞ ; + ∞ ) {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}
λ > 0 のとき、 δ ≥ 0 , | β | < α {\displaystyle \delta \geq 0,\;|\beta |<\alpha }
λ = 0 のとき、 δ > 0 , | β | < α {\displaystyle \delta >0,\;|\beta |<\alpha }
λ < 0 のとき、 δ > 0 , | β | ≤ α {\displaystyle \delta >0,\;|\beta |\leq \alpha }

モーメント

本節では、以下

ζ u = δ α 2 − ( β + u ) 2 ζ = ζ u = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta _{u}&=\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2}}}\\\zeta &=\zeta _{u=0}\end{aligned}}}

とする。

期待値

期待値は以下の式で与えられる。

E ( X ) = μ + δ β α 2 − β 2 K λ + 1 ( δ α 2 − β 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) = μ + δ 2 β ζ K λ + 1 ( ζ ) K λ ( ζ ) {\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&=\mu +{\frac {\delta \beta }{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}{\frac {K_{\lambda +1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\\[0.5em]&=\mu +{\frac {\delta ^{2}\beta }{\zeta }}{\frac {K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}\end{aligned}}}

分散

分散は以下の式で与えられる。

Var ⁡ ( X ) = δ α 2 − β 2 K λ + 1 ( δ α 2 − β 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) + δ 2 β 2 ( α 2 − β 2 ) [ K λ + 2 ( δ α 2 − β 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) − ( K λ + 1 ( δ α 2 − β 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) ) 2 ] = δ 2 ζ K λ + 1 ( ζ ) K λ ( ζ ) + δ 4 β 2 ζ 2 [ K λ + 2 ( ζ ) K λ ( ζ ) − ( K λ + 1 ( ζ ) K λ ( ζ ) ) 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&={\frac {\delta }{\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}}{\frac {K_{\lambda +1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}+{\frac {\delta ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-\beta ^{2})}}\left[{\frac {K_{\lambda +2}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}-\left({\frac {K_{\lambda +1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\right)^{2}\right]\\&={\frac {\delta ^{2}}{\zeta }}{\frac {K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}+{\frac {\delta ^{4}\beta ^{2}}{\zeta ^{2}}}\left[{\frac {K_{\lambda +2}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}-\left({\frac {K_{\lambda +1}(\zeta )}{K_{\lambda }(\zeta )}}\right)^{2}\right]\end{aligned}}}

モーメント母関数

モーメント母関数は以下の式で与えられる。

M G H ( u ) = exp ⁡ ( u μ ) ( α 2 − β 2 ( α 2 − ( β + u ) 2 ) ) λ / 2 K λ ( δ α 2 − ( β + u ) 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) = exp ⁡ ( u μ ) ( ζ ζ u ) λ K λ ( ζ u ) K λ ( ζ ) {\displaystyle {\begin{aligned}M_{GH}(u)&=\exp(u\mu )\left({\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2})}}\right)^{\lambda /2}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +u)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\\[0.5em]&=\exp(u\mu )\left({\frac {\zeta }{\zeta _{u}}}\right)^{\lambda }{\frac {K_{\lambda }(\zeta _{u})}{K_{\lambda }(\zeta )}}\end{aligned}}}

特性関数

特性関数は以下の式で与えられる。

φ ( u ) = exp ⁡ ( i u μ ) ( α 2 − β 2 ( α 2 − ( β + i u ) 2 ) ) λ / 2 K λ ( δ α 2 − ( β + i u ) 2 ) K λ ( δ α 2 − β 2 ) {\displaystyle \varphi (u)=\exp(iu\mu )\left({\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}{(\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2})}}\right)^{\lambda /2}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +iu)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}}

特別なケース

λ = 1 の場合

双曲型分布（英語版） (HYP) となる。導出には、ベッセル関数の性質[1]を利用する。

確率密度関数
g h ( x ; 1 , α , β , δ , μ ) = h y p ( x ; α , β , δ , μ ) = α 2 − β 2 2 δ α K 1 ( δ α 2 − β 2 ) exp ⁡ ( − α δ 2 + ( x − μ ) 2 + β ( x − μ ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )&=\mathrm {hyp} (x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}{2\delta \alpha K_{1}(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}})}}\exp(-\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}+\beta (x-\mu ))\end{aligned}}}

λ=1, α=1, β=0, δ=0 の場合はラプラス分布 Laplace(μ, 1) となる。

λ = −1/2 の場合

正規逆ガウス分布（英語版） (NIG) となる。導出には、ベッセル関数の性質[1]を利用する。

確率密度関数
g h ( x ; − 1 / 2 , α , β , δ , μ ) = nig ⁡ ( x ; α , β , δ , μ ) = α δ π exp ⁡ ( δ α 2 − β 2 + β ( x − μ ) ) K 1 ( α δ 2 + ( x − μ ) 2 ) δ 2 + ( x − μ ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )&=\operatorname {nig} (x;\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\alpha \delta }{\pi }}\exp(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-\beta ^{2}}}+\beta (x-\mu )){\frac {K_{1}(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}})}{\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}}\end{aligned}}}

λ = −1/2, α = β =0 の場合

正規逆ガウス分布 (NIG) の特別な場合として、コーシー分布となる。

λ = −ν/2, α → |β| の場合

自由度 ν の非対称なスチューデントのt分布となる。(β ≠ 0)

g h ( x ; λ = − ν 2 , α → | β | , β , δ , μ ) = δ ν | β | ( ν + 1 ) / 2 K ( v + 1 ) / 2 ( ( δ 2 + ( x − μ ) 2 ) β 2 ) exp ⁡ ( β ( x − μ ) ) 2 ( v − 1 ) / 2 Γ ( ν 2 ) π ( δ 2 + ( x − μ ) 2 ) ( ν + 1 ) / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;&\lambda ={\frac {-\nu }{2}},\alpha \to |\beta |,\beta ,\delta ,\mu )\\&={\frac {\delta ^{\nu }|\beta |^{(\nu +1)/2}K_{(v+1)/2}\left({\sqrt {(\delta ^{2}+(x-\mu )^{2})\beta ^{2}}}\right)\exp(\beta (x-\mu ))}{2^{(v-1)/2}\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right){\sqrt {\pi }}\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)^{(\nu +1)/2}}}\end{aligned}}}

λ = −ν/2, α = β = 0, δ = √ν の場合

自由度 ν の（対称な）スチューデントのt分布となる。

g h ( x ; λ = − ν 2 , α = 0 , β = 0 , δ = ν , μ ) = Γ ( ν + 1 2 ) π δ Γ ( ν 2 ) [ 1 + ( x − μ ) 2 δ 2 ] − ν + 1 2 = Γ ( ν + 1 2 ) π ν Γ ( ν 2 ) ( 1 + ( x − μ ) 2 ν ) − ν + 1 2 {\displaystyle {\begin{aligned}gh(x;&\lambda ={\frac {-\nu }{2}},\alpha =0,\beta =0,\delta ={\sqrt {\nu }},\mu )\\&={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\delta \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left[1+{\frac {(x-\mu )^{2}}{\delta ^{2}}}\right]^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\\&={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {(x-\mu )^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\end{aligned}}}

α → ∞, δ → ∞, δ/α → σ2 の場合

平均 μ + βσ2、分散 σ2 の正規分布となる。

参考文献

（英語）

  • The Generalized Hyperbolic Model: Estimation, Financial Derivatives, and Risk Measures (PDF) , Karsten Prause, Oktober 1999.
  • Generalized Hyperbolic and Inverse Gaussian Distributions: Limiting Cases and Approximation of Processes (PDF) , Ernst Eberlein and Ernst August v. Hammerstein, revised April 2003.
  • Absolute moments of generalized hyperbolic distributions and approximate scaling of normal inverse Gaussian Lévy-Processes (PDF) , Ole Eiler Barndorff-Nielsen and Robert Stelzer, April 25, 2004.
  • Moments of the Generalized Hyperbolic Distribution(PDF), David Scott, Department of Statistics, The University of Auckland, July 3, 2008.
  • Moments of the Generalized Hyperbolic Distribution (PDF) , Scott, David J, Wurtz, Diethelm, Dong, Christine and Tran,

Thanh Tam, Dec 09, 2009.

（日本語）

  • GIG分布とGH分布に関する解析 (PDF) 、増田 弘毅、統計数理 (2002) 第 50 巻 第 2 号 165–199 ©2002 統計数理研究所 特集「ファイナンス統計学」

脚注

a b  K − 1 2 ( x ) = K 1 2 ( x ) = π 2 x − 1 2 exp ⁡ ( − x ) {\displaystyle K_{-{\frac {1}{2}}}(x)=K_{\frac {1}{2}}(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}x^{-{\frac {1}{2}}}\exp(-x)}

外部リンク

  • Wolfram Demonstration Project - Generalized Hyperbolic Distribution（GH確率密度関数のグラフを見ることができる。）
  • 表
  • 話
  • 編
  • 歴
離散単変量で
有限台
離散単変量で
無限台
  • ベータ負二項（英語版）
  • ボレル（英語版）
  • コンウェイ–マクスウェル–ポワソン（英語版）
  • 離散位相型（英語版）
  • ドラポルト（英語版）
  • 拡張負二項（英語版）
  • ガウス–クズミン
  • 幾何
  • 対数（英語版）
  • 負の二項
  • 放物フラクタル（英語版）
  • ポワソン
  • スケラム（英語版）
  • ユール–サイモン（英語版）
  • ゼータ（英語版）
連続単変量で
有界区間に台を持つ
  • 逆正弦（英語版）
  • ARGUS（英語版）
  • バルディング–ニコルス（英語版）
  • ベイツ（英語版）
  • ベータ
  • beta rectangular（英語版）
  • アーウィン–ホール（英語版）
  • クマラスワミー（英語版）
  • ロジット-正規（英語版）
  • 非中心ベータ（英語版）
  • raised cosine（英語版）
  • reciprocal（英語版）
  • 三角
  • U-quadratic（英語版）
  • 一様
  • ウィグナー半円
連続単変量で
半無限区間に台を持つ
  • ベニーニ（英語版）
  • ベンクタンダー第一種（英語版）
  • ベンクタンダー第二種（英語版）
  • 第2種ベータ
  • Burr（英語版）
  • カイ二乗
  • カイ（英語版）
  • Dagum（英語版）
  • デービス（英語版）
  • 指数-対数（英語版）
  • アーラン
  • 指数
  • F
  • folded normal（英語版）
  • Flory–Schulz（英語版）
  • フレシェ
  • ガンマ
  • gamma/Gompertz（英語版）
  • 一般逆ガウス（英語版）
  • Gompertz（英語版）
  • half-logistic（英語版）
  • half-normal（英語版）
  • Hotelling's T-squared（英語版）
  • 超アーラン（英語版）
  • 超指数（英語版）
  • hypoexponential（英語版）
  • 逆カイ二乗（英語版）
    • scaled inverse chi-squared（英語版）
  • 逆ガウス
  • 逆ガンマ
  • コルモゴロフ
  • レヴィ
  • 対数コーシー
  • 対数ラプラス（英語版）
  • 対数ロジスティック（英語版）
  • 対数正規
  • ロマックス（英語版）
  • 行列指数（英語版）
  • マクスウェル–ボルツマン
  • マクスウェル–ユットナー（英語版）
  • ミッタク-レフラー（英語版）
  • 仲上（英語版）
  • 非心カイ二乗
  • パレート
  • 位相型（英語版）
  • poly-Weibull（英語版）
  • レイリー
  • relativistic Breit–Wigner（英語版）
  • ライス（英語版）
  • shifted Gompertz（英語版）
  • 切断正規
  • タイプ2ガンベル（英語版）
  • ワイブル
    • 離散ワイブル（英語版）
  • ウィルクスのラムダ（英語版）
連続単変量で
実数直線全体に台を持つ
連続単変量で
タイプの変わる台を持つ
  • 一般極値
  • 一般パレート（英語版）
  • マルチェンコ–パストゥール（英語版）
  • q-指数（英語版）
  • q-ガウス
  • q-ワイブル（英語版）
  • shifted log-logistic（英語版）
  • トゥーキーのラムダ（英語版）
混連続-離散単変量
  • rectified Gaussian（英語版）
多変量 (結合)
【離散】
エウェンズ（英語版）
多項
ディリクレ多項（英語版）
負多項（英語版）
【連続】
ディリクレ
一般ディリクレ（英語版）
多変量正規
多変量安定（英語版）
多変量 t（英語版）
正規逆ガンマ（英語版）
正規ガンマ（英語版）
【行列値】
逆行列ガンマ（英語版）
逆ウィッシャート（英語版）
行列正規（英語版）
行列 t（英語版）
行列ガンマ（英語版）
正規逆ウィッシャート（英語版）
正規ウィッシャート（英語版）
ウィッシャート
方向
【単変量 (円周) 方向】
円周一様（英語版）
単変数フォン・ミーゼス
wrapped 正規（英語版）
wrapped コーシー（英語版）
wrapped 指数（英語版）
wrapped 非対称ラプラス（英語版）
wrapped レヴィ（英語版）
【二変量 (球面)】
ケント（英語版）
【二変量 (トロイダル)】
二変数フォン・ミーゼス（英語版）
【多変量】
フォン・ミーゼス–フィッシャー（英語版）
ビンガム（英語版）
退化と特異
族
  • 円周（英語版）
  • 混合ポワソン（英語版）
  • 楕円（英語版）
  • 指数
  • 自然指数（英語版）
  • 位置尺度（英語版）
  • 最大エントロピー（英語版）
  • 混合（英語版）
  • ピアソン（英語版）
  • トウィーディ（英語版）
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