準線形効用関数

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準線形効用関数（じゅんせんけいこうようかんすう、英: The quasi-linear utility）とは、1つの財について線形でその他の財について厳密に上に凸である効用関数のこと^[1]。

概要

一般的な準線形効用関数は以下のように書ける^[1]:164。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+\theta (x_{2},\ldots ,x_{n})}$

ただし${\displaystyle \theta }$は厳密に上に凸な関数である^[2]。${\displaystyle x_{1}}$は通常はニュメレール（英語版）となる。このとき、効用最大化問題を解いて得られる需要関数${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n}}$は所得に依存しない（つまり所得効果がない）^[3]。

効用関数が準線形なとき、補償変分（英語版）（CV）と等価変分（英語版）（EV）と消費者余剰が等しくなる^[3][4]。メカニズムデザインでは、準線形効用関数を仮定することで経済主体がサイド・ペイメントで互いに補償し合える状況を考えることができる。

2財の例

一般形

以下のような効用関数を考える。

${\displaystyle u(x,y)=x+\theta (y)}$

これは、${\displaystyle \theta }$が厳密に上に凸な関数であるとき準線形効用関数となる。予算制約式${\displaystyle I=p_{x}x+p_{y}y}$の下で効用最大化問題を解くと、財yへの需要関数は

${\displaystyle \theta ^{\prime }(y)=p_{y}}$

の解として定義できる。ただし${\displaystyle p_{y}}$は財yの価格である。これをyについて解くと

${\displaystyle y(p,I)=(\theta ^{\prime })^{-1}(p_{y}),}$

が得られ、所得水準Iに依存しないことがわかる。間接効用関数は

${\displaystyle v(p,I)=v(p)+I,}$

のように書ける。これはゴーマン極形型（英語版）と解釈できる^{[1]:154, 169}。

具体例

以下のような準線形効用関数を考える^[2]。

${\displaystyle u\left(x,y\right)=x+{\sqrt {y}}}$

予算制約式${\displaystyle I=p_{x}x+p_{y}y}$の下で効用最大化問題を解くと、財xと財yの需要関数はそれぞれ

${\displaystyle x={\frac {I}{p_{x}}}-{\frac {1}{4}}{\frac {p_{x}}{p_{y}}}}$

${\displaystyle y={\frac {1}{4}}\left({\frac {p_{x}}{p_{y}}}\right)^{2}}$

となる。財yへの需要が所得水準Iに依存していないことがわかる。これらを効用関数に代入すると、以下のような間接効用関数が得られる。

${\displaystyle v={\frac {I}{p_{x}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {p_{x}}{p_{y}}}}$

二次の副効用関数

ニュメレール財${\displaystyle x_{0}}$以外の財が連続体（英: continuum）上に複数のバラエティ${\displaystyle \omega }$を持ち、バラエティ${\displaystyle \omega }$の消費から得られる効用が二次の副効用関数として書ける準線形効用関数もある^[5]。

${\displaystyle u=x_{0}+\alpha \int _{\omega \in \Omega }x(\omega )d\omega +{\frac {\beta -\gamma }{2}}\int _{\omega \in \Omega }x(\omega )^{2}d\omega -{\frac {\gamma }{2}}\left(\int _{\omega \in \Omega }x(\omega )d\omega \right)^{2}}$

ただし、${\displaystyle \Omega }$はバラエティの集合で、${\displaystyle \alpha >0}$と${\displaystyle \beta >\gamma }$はパラメーターである。予算制約式${\displaystyle I=p_{0}x_{0}+\int _{\omega \in \Omega }p(\omega )x(\omega )d\omega }$の下で効用最大化問題を解くと、個々のバラエティ${\displaystyle \omega }$の需要関数は所得水準Iに依存しない関数となる。

出典

表 話 編 歴 ミクロ経済学
分野	価格理論 ゲーム理論 契約理論 メカニズム・デザイン 社会選択理論 厚生経済学
価格理論	基本 配分 希少性 機会費用 凸性（英語版） 弾力性 弾力性 代替の弾力性 供給の価格弾力性（英語版） 需要の価格弾力性 需要の所得弾力性 交差弾力性 関数の弾力性（英語版） 弧弾力性（英語版） 財 財 代替財 補完財 独立財 ギッフェン財 ヴェブレン財 正常財 通常財 必需品 贅沢品 自由財 関数形 コブ＝ダグラス型関数 CES型関数 準線形効用関数 線形効用関数（英語版） レオンチェフ型関数 エプスタイン–ジン型選好 トランスログ型関数（英語版） ゴーマン極形型（英語版） 斉次函数 定理/補題 シェパードの補題（英語版） マッケンジーの補題 包絡線定理（英語版） ロワの恒等式 効用 局所非飽和（英語版） 期待効用 危険回避 等弾力的効用関数（英語版） 序数的効用（英語版） 基数的効用（英語版） 市場 完全競争 不完全競争 独占 自然独占 独占的競争 複占 寡占 モノプソニー 消費者 家計 需要の法則（英語版） 選好関係 効用関数 間接効用関数（英語版） 需要関数 マーシャル型需要関数（英語版） ヒックス型需要関数（英語版） 支出関数（英語版） スルツキー方程式 無差別曲線 限界代替率 異時点間選択（英語版） 予算集合（英語版） 効用最大化 ラグランジュの未定乗数法 生産者 企業 生産集合（英語版） 生産可能性フロンティア 生産関数 等量曲線 限界変形率 規模に関する収穫（英語版） 費用最小化 費用関数 可変費用 固定費用 埋没費用 限界費用 平均費用（英語版） 供給関数（英語版） 規模の経済 範囲の経済 利潤最大化 均衡 エッジワース・ボックス・ダイアグラム 契約曲線（英語版） 需要と供給 均衡 一般均衡 部分均衡 パレート効率性 分析 社会的余剰 消費者余剰 生産者余剰 死荷重 厚生経済学の基本定理 ニュメレール（英語版） 等価変分（英語版） 補償変分（英語版） 失敗 市場の失敗 非対称情報 外部性 公共財
ゲーム理論	標準形ゲーム ナッシュ均衡 展開形ゲーム 部分ゲーム完全均衡 提携形ゲーム コア シャプレー値
契約理論	モラル・ハザード 逆選択 スクリーニング シグナリング 不完備契約（英語版）
関連分野	数理経済学 計算機経済学（英語版） 行動経済学 マクロ経済学のミクロ的基礎付け（英語版） 計量経済学 実験経済学 産業組織論 オペレーションズ・リサーチ 最適化理論 解析学 位相幾何学
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